En este estupendo canal podéis encontrar una playlist con la definición, elementos y una serie de ejercicios resueltos sobre Homología.
Y aquí tenéis los ejercicios de los vídeos para que vayáis trabajando sobre ellos paso a paso.
EJERCICIOS
1. Hallar los elementos de una Homología de la que conocemos el Centro de Homología O, el eje de Homología, el triángulo ABC y los puntos Homólogos A´y B´.
Os dejo el ejercicio resuelto con GeoGebra de forma que podáis modificar la posición de los distintos elementos para entenderlo mejor.
2. Hallar la figura homóloga del cuadrado ABCD conociendo el centro, el eje la recta límite RL
PAU/EvAU
Aquí tenéis, resuelto con Mongge un sencillo ejercicio de Homología de las pruebas PAU
Si la figura original es una circunferencia obtendremos una curva cónica. Vamos a ver únicamente el caso de la Elipse que se da cuando la circunferencia no corta, ni toca a la la RL. Tenéis la resolución en vídeo y también resuelto con Mongge.
Y aquí tenéis otra serie de ejercicios con sus correspondientes soluciones.
Haciendo clic sobre la imagen podréis acceder a un ejercicio de Homología condicionada resuelto con GeoGebra.
Este ejercicio salió en la EvAU de septiembre de 2017. Para resolver el ejercicio es necesario hacer también una traslación.
A pesar de que en la PAU no se os suele pedir, la verdadera aplicación de este concepto es la de resolver ejercicios de tangencias que de otra forma resultarían mucho más complejos.
Os dejo una construcción interactiva para que comprobéis como podéis hacerlo.
Aquí tenéis otra aplicación de la inversión a la resolución de tangencias. Se trata de hallar las circunferencias tangentes a otras dos y que a su vez pasen por un punto P(es uno de los famosos problemas de Apolonio)
Os recomiendo que veáis por pasos cada una de las cuatro soluciones.
En este otro caso, se nos pide que tracemos las circunferencias tangentes a otra y a una recta r, pasando por un punto P.
El ejercicio se resuelve simplificándolo tal manera que lo convirtamos en el caso anterior.
Y aquí os dejo en formato vídeo el ejercicio que salió en Junio de 2018
Este ejercicio es muy similar al que pudimos ver ya en la PAU del curso 2005/2006en la prueba de junio.
- Solución EvAU junio 2017
-Solución
Normalmente los ejercicios que podemos encontrar en las pruebas PAU/EvAU son de Inversión positiva (los puntos original e inverso quedan a un mismo lado de O en la recta que los une). Vamos a ver un caso de Inversión negativa (el punto O, centro de la Inversión quedaría entre los puntos inversos y no existiría la c.p.d.).
Aquítenéis el examen de la PAU de este año.
Os dejo las soluciones de cinco de los ejercicios, así como un enlace para el ejercicio A3, que os dejo construido con SketchUp para que podáis manipular la pieza.
Ejercicio A1 Hallar los puntos del plano cuyas tangentes a las circunferencias de centros O y O1dadas, formen ángulos de 45º y 60º grados respectivamente. Justificar razonadamente los conceptos utilizados.
Os dejo la solución en forma de applet interactivo de GeoGebra, de modo que podáis modificar las posiciones de las circunferencias, sus radios, así como los ángulos bajo los que se ven éstas.
Se trata en realidad de localizar los puntos de intersección de dos lugares geométricos, dos circunferencias concéntricas que se cortarán (si se cortan) en dos puntos que cumplirán simultáneamente ambas premisas.
Existen en este caso dos soluciones, pero podría ocurrir que no hubiera ninguna, o tan sólo una si esas circunferencias fueran tangentes.
El ejercicio se resuelve construyendo dos deltoides, uno por cada circunferencia, dos de cuyos lados serían radios de la circunferencia que formarían a su vez 90º con las tangentes desde uno de los puntos buscados.
Dichos segmentos de tangente serías los otros dos lados iguales del cuadrilátero.
Dado que los ángulos de un cuadrilátero suman 360º y conocemos tres de ellos, es muy fácil deducir el cuarto para construirlo. Ese cuarto vértice estaría situado sobre el centro de cada una de esas circunferencias y su ángulo sería el suplementario del que se nos da en el enunciado.
Los puntos A y B son los puntos desde los que se verán la circunferencias-dato bajo el ángulo dado.
Ejercicio A2 Tenéis el enunciado en el propio ejercicio.
Para realizar este ejercicio es preciso recordar que el paralelismo, cuando se da entre rectas se aprecia también en proyecciones.
Es necesario también saber que para que una recta contenga a un punto, las proyecciones de éste deben situarse sobre las de la recta.
Una recta de máxima pendiente de un plano forma en su proyección horizontal un ángulo de 90º con la traza horizontal del plano. Tras hallar la recta de máxima pendiente del plano que además contiene al punto A, podremos determinar las trazas de dicha recta que serán puntos por los que deberán pasar necesariamente el plano que se nos pide.
Trazaremos en primer lugar la traza horizontal formando 90º con la proyección horizontal de la recta, y una vez conocido el vértice del plano, podremos determinar su traza vertical que pasará además por la traza V de la recta. Ejercicio A3 Dibujar el corte AB en su posición normalizada y acotar en la vista resultante todas las dimensiones posibles, según normativa.
Por increíble que parezca las vistas de esta pieza contienen errores. Os dejo enlazada la corrección y posterior solución que Alberto García le da desde el Colegio El Prado. Dicho error está confirmado por la coordinadora de la PAU de la UAM.
Para que comprobéis las diferencias entre el perfil dado y el correcto os dejo un applet de GeoGebra.
Activando la casilla correspondiente podréis ver alternativamente uno u otro.
Os dejo la pieza realizada con SketchUp con la corrección correspondiente.
Por si desearais verla en Realidad Aumentada con Aumentaty os dejo también el enlace yeste otropara verlo con otro material. Ejercicio B1 Trazar las circunferencias tangentes exteriores entre sí, de centros O, O1 y O2. Justificar razonadamente los conceptos geométricos utilizados.
El Incentro del triángulo que se forma al unir los tres centros será el centro radical de las tres circunferencias tangentes.
Ejercicio B2 El segmento con proyección horizontal r1 es la arista de un cubo apoyado en el plano horizontal de proyección y situado íntegramente en el primer cuadrante. Trazar la sección producida por el plano alfa en dicho cubo. El ejercicio es muy similar a éste que os dejo resuelto con Mongge y que hice hace ya algunos meses. Dado que la arista se ve en verdadera magnitud es muy sencillo trazar el cuadrado en proyección horizontal y hallar después la proyección vertical de dicho cubo.
Existen tres métodos para resolver este ejercicio, podéis verlos todos en el blog de Dibujo Técnico del colegio El Prado Ejercicio B3 Representar el dibujo isométrico (respetando la posición del alzado en la perspectiva) de la pieza dada por sus proyecciones normalizadas (según el sistema europeo de representación), indicando aristas vistas y ocultas.
¡Ojo, que a pesar de que la vista que se nos da es la izquierda (situada a la derecha del alzado según el Sistema Europeo) la que se va a ver en el dibujo isométrico (no se aplica coeficiente de reducción) es, sin embargo, la derecha!
Se nos marca ya en el ejercicio la posición del alzado.
Podéis manipular la pieza que tenéis debajo para colocarla de forma que podáis comprobar su correspondencia con las vistas diédricas.
Está realizada con SketchUp y subida a la galería 3D Warehouse.
Si quereis ver la pieza enRealidad Aumentada con Aumentaty haced clic aquí para descargaros la escena.
Para poder visualizarla es necesario descargar el visor de Aumentaty e imprimir el marcador que viene con la escena.
