Esfera: Representación y Secciones

En esta entrada de dibujotecni.com tenéis explicado como representar la esfera, puntos contenidos en ella así como las secciones que pueden producir en ella los distintos planos.

Ejercicios para descargar e imprimir

EJERCICIOS PAU/EVAU CON ESFERAS

Solución

Solución

Solución

Solución El ejercicio puede resolverse también utilizando un plano horizontal que produciría una sección circular en la proyección horizontal de la esfera.

Solución

INTERSECCIONES RECTA-ESFERA

Solución

Solución 1 (mediante giro)
Solución 2 (mediante cambio de plano)

Modelo 2019

Solución por Felisardo da Bilbi
Solución (modelo)

Superficies radiadas: Secciones e intersecciones

SUPERFICIES RADIADAS

Definición: Las superficies radiadas están limitadas por rectas que confluyen en un vértice que puede estar en el infinito: como el cono, el cilindro, la pirámide y el prisma.


-El cono es una superficie radiada de tipo cónica que se engendra por una recta que gira en torno a un eje, ambas en el mismo plano. La línea o curva directriz es la que corta a todas las generatrices y es en este caso una circunferencia. La curva directriz es una sección del cono.


-La pirámide es otro tipo de superficie radiada de tipo cónico porque tiene su vértice localizado en un punto propio. La directriz es un polígono regular o irregular y la pirámide es recta si su vértice incide en la recta perpendicular a la base, si no es, como en este caso, una pirámide oblicua. Es una superficie reglada, ya que una regla que pase por su vértice puede seguir todas las caras de la superficie, y es además desarrollable, que quiere decir que sus caras se pueden extender sobre un plano y poder construirla de papel.

-El cilindro es una una superficie de revolución y reglada. Las superficies radiadas son regladas (eso quiere decir que si tomamos una generatriz de la misma podemos seguir toda su superficie con el canto de una regla) y desarrollables (se pueden extender sobre un plano) además pueden ser cilíndricas o prismáticas si el punto de contacto con la regla está en el infinito.
El cilindro es también una superficie radiada que quiere decir que si tomamos una generatriz de la misma podemos seguir toda su superficie con el canto de una regla y un punto del canto de esta regla pasa siempre por un punto fijo de la superficie, esto es, que la regla toca un punto sobre la superficie de forma invariable -e ideal si está en el infinito, como el caso del cilindro o prisma.

Introducción en vídeo (Juan Escobar):

Apuntes: https://dibujotecni.com/sistema-diedrico/sistema-diedrico-superficies/

Apuntes y ejercicios laslaminas.es

https://drive.google.com/file/d/1LTV8zH4pbBP2-p4EN7iZb0oVZBNaawNz/view?usp=sharing

Ejercicios sin solución:  
http://www.laslaminas.es/images/descargas/diedrico/secciones_planas_laminas.pdf

Ejercicios con solución:

http://www.laslaminas.es/images/descargas/diedrico/secciones_planas_laminas_solu.pdf

SECCIONES: Ejercicios para imprimir

Prisma 

Prisma con plano paralelo a la LT: (recurrimos al perfil)

- Solución con Mongge (método 1) Vídeo
- Solución (método 2 con planos proyectantes) Vídeo

Prisma con plano oblicuo:

http://dibufirst.blogspot.com/2014/05/secciones-prisma-recto-por-plano-oblicuo.html (incluye prisma y pirámide...Lámina

Solución 1 (por planos proyectantes que contienen a las aristas)
Solución 2 (mediante planos paralelos al vertical que contienen a las aristas)

Pirámide 

Pirámide con plano  proyectante.

Solución (Mongge)
En el vídeo se encuentra además de la sección, su verdadera magnitud y el desarrollo del tronco de pirámide resultante.

Otro caso de pirámide de base triangular con plano proyectante

Solución con Mongge

Pirámide con plano oblicuo: (mediante planos auxiliares)

-Solución con Mongge

Sección plano oblicuo-prisma Solución con Mongge  Se utiliza la relación de homología entrela base y la sección.

Otra solución mediante cambio de plano

Pirámide por plano definido por 3 puntos (PAU 2004)

-Solución (Mongge)

Cono  

Cono con plano paralelo a la LT

Solución Mongge

Cono con plano proyectante al vertical (de canto):

Solución (Mongge)
Un ejercicio similar salió en la PAU 2007 (septiembre)

Solución (Mongge)

Otra forma de hallar la intersección utilizando generatrices a modo de aristas. https://www.youtube.com/watch?v=GN1GBvDBFQs

Cono con plano proyectante al vertical: (Juan Escobar) Traza vertical paralela a una generatriz

https://www.youtube.com/watch?v=MEbls5p4LTs  Utiliza planos paralelos a la LT.

Solución Mongge

Cono con plano proyectante al horizontal: (Juan Escobar)

-Solución Mongge

https://www.youtube.com/watch?v=fHmmPI4Yz0c

Cilindro  

Cilindro con plano proyectante:(Juan Escobar)

https://www.youtube.com/watch?v=7OoUWDkHkmE

Cilindro con plano oblicuo: EvAU 2018 junio A2

Solución por Felisardo da Bilbi (sin cambio de plano): https://youtu.be/t7cCh_JEaSo

Solución por Alberto García: https://www.youtube.com/watch?v=xJje6jKHZOw
Ejercicio muy similar de otra convocatoria (PAU Junio 2009):

Solución (Mongge)
Solución (PDF)
Solución en vídeo por Felisardo da Bilbi: https://www.youtube.com/watch?v=zbyKNB35R4Q  

Sección plano de perfil-cono (PAU)

Solución Mongge

PAU septiembre 2008

Solución PDF: https://escuadraycartabon.net/wp-content/uploads/2013/03/solucion-sept-2008.pdf


Septiembre 2004

Solución Mongge

Otros ejercicios PAU/EvAU con superficies oblicuas y/o irregulares o casos particulares.

Junio 2007

Solución con Mongge
Solución en vídeo (utilizando un plano vertical) por Felisardo da Bilbi 

Ejercicio sobre tronco de cono del Modelo de examen del año 2016/17
La solución está incluida en el propio modelo

Solución

En este ejercicio debemos trazar una de las rectas tangentes a una circunferencia desde un punto exterior P.

Solución con Mongge

EvAU julio 2019

Solución Mongge
INTERSECCIONES:

Intersección recta-prisma oblicuo 
https://www.youtube.com/watch?v=26f7VuWQ9vs 

Intersección recta-prisma oblicuo  (EvAU 2017) Arturo Geometría

https://www.youtube.com/watch?v=whQNNHobYhM

Intersección recta-pirámide oblicua 

https://www.youtube.com/watch?v=utcWNG44Srk

Intersección recta paralela a la LT y cilindro oblicuo: https://www.youtube.com/watch?time_continue=76&v=CJOWw-oWoCI

Intersección recta oblicua y cilindro oblicuo

https://www.youtube.com/watch?time_continue=462&v=AuSwoLqTSkw

Intersección recta-cono oblicuo

https://www.youtube.com/watch?v=U0RbDCo2kcU

Intersección recta paralela a la LT-cono oblicuo (EvAU 

http://www.mongge.com/educacion/dibujo-tecnico/ejercicios/26208/

Intersección de plano proyectante y cono 

https://www.youtube.com/watch?v=sA0r8vVgVrw

SISTEMA DIÉDRICO: SECCIONES

• 1 Sección de cono con plano proyectante vertical   Aquí está la explicación en vídeo de los dos primeros ejercicios

             Éste otro es similar y salió en las pruebas PAU del 2006

• 2 Sección de cono con plano proyectante vertical cuya traza horizontal corta al cono. El vídeo es éste.
• 3 Sección de cono con plano paralelo a la LT

Otros ejercicios de Secciones planas:

• Ejercicio de poliedros seccionado por un plano horizontal (PAU 2015)
• Plano proyectante con pirámide.
• Plano oblicuo con prirámide con abatimiento de sección 
• Cubo con plano paralelo a la LT. 

Modelo PAU 2015:

-Sección producida por el primer bisector en el prisma de base triangular representado por sus dos proyecciones.
Ejercicio resuelto con Mongge

SISTEMA DIÉDRICO: DISTANCIAS

En el blog de 1º de bachillerato tenéis una entrada bastante completa. Antes de ver ejercicios de EvAU/Selectividad os conviene repasarla y ver también éste apartado del libro. Recordad que previamente debéis entender el concepto de perpendicularidad en Sistema Diédrico.




Éste ejercicio de la EvAU lo tenéis resuelto de dos formas: por cambio de plano y por abatimiento. El primero es mucho más sencillo ya que convertimos un plano oblicuo en uno proyectante vertical con lo que podemos medir la distancia directamente de forma perpendicular a la traza vertical y devolver luego el plano a su posición oblicua. El segundo plano tendrá el vértice a la misma distancia que el primero.

Solución 1
Solución 2


Distancia Punto-recta. Ejercicio de la PAU de Junio de 2011. A2

PAU 2010-2011 Distancia del punto P al plano definido por las rectas r y s.

-Solución 1 (con giro para hallar la verdadera magnitud de la distancia).

-Solución 2 (con abatimiento por diferencia de cotas para hallar la verdadera magnitud de la distancia).

PAU 2010-2011 Junio (coincidentes) Distancia en verdadera magnitud entre dos puntos

-Solución

PAU junio 2010 (Fase General)

-Solución

-Solución

Tres formas de hallar la distancia entre dos puntos en Verdadera Magnitud.

SISTEMA DIÉDRICO: GIROS

S. DIÉDRICO. GIROS de JUAN DIAZ ALMAGRO

Aquí puedes descargar la presentación.


Podemos utilizar los giros, por ejemplo, para determinar la verdadera magnitud de las aristas de una pirámide oblícua y realizar así su desarrollo.
Solución

O bien para determinar el punto de intersección de un plano con una pirámide sobre una arista de perfil.

Solución

En caso de que necesitemos trazar la altura de un volumen con una de sus caras contenida en un plano oblicuo podríamos recurrir al giro para determinarla en verdadera magnitud. Aquí tenéis el método en vídeo.

SISTEMA DIÉDRICO: ABATIMIENTOS

Echad primero un vistazo a la entrada de 1º de bachillerato.

Esta presentación de Jose Luis García es muy completa ya que podéis ver distintos supuestos.

Geometría-Descriptiva.-Abatimientos

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SISTEMA DIÉDRICO. ABATIMIENTOS de JUAN DIAZ ALMAGRO

Clic aquí para descargar la presentación.

EJERCICIOS EvAU/PAU  Aquí están los ejercicios para que los imprimáis.

Un ejercicio tipo y sin especial dificultad es el siguiente:

Solución

Este ejercicio es muy sencillo y requiere de un abatimiento y una posterior elevación al plano.

Solución

Otro ejercicio bastante sencillo de lo que podemos encontrar en las pruebas PAU/EvAU es éste.

Solución

ABATIMIENTO DIRECTO

Éste método se nos pide habitualmente para resolver ejercicios en las pruebas EvAU. Tenéis la explicación en formato vídeo.

En este ejercicio se nos pide que determinemos el circuncentro del triángulo ABC. 

Solución

Y aquí está la solución

Solución

Solución

Para resolver este ejercicio no es necesario determinar las dos trazas del plano que contiene al triángulo. Podemos definir la traza horizontal y abatir tan solo el punto A. 

Aquí está resuelto el ejercicio con Mongge.

 Solución

Ejercicio similar perteneciente al modelo 2017-18

Resuelto según el modelo mediante un abatimiento para calcular la VM del triángulo (Mongge)

Calculando la verdadera magnitud del triángulo (por Felisardo da Bilbi)

Resuelto por el método directo (por Felisardo da Bilbi).

 Solución

Éste es un ejercicio sencillo de intersección de sólido y plano proyectante. Se nos pide hallar la Verdadera Magnitud de la sección por lo que recurrimos a un abatimiento.

Solución

Aquí tenéis los nuevos ejercicios para imprimir

El problema de este ejercicio es que el espacio que han dejado en el modelo del 2009-2010 es tan pequeño que no se puede abatir el plano que contiene a ambas rectas y no hay más remedio que solucionarlo de otro modo. En este caso debemos abatir el punto B sobre el plano horizontal que contiene a la recta r, de forma que ésta coincida con su propio abatimiento.

-Solución

Los abatimientos nos pueden servir también para realizar ejercicios en los que visualizar ángulos en verdadera magnitud, como en este ejercicio de las pruebas PAU de junio de 2006.

-Solución

- Solución

Para la realización de este ejercicio no es necesario recurrir al abatimiento, ya que las posiciones relativas de los elementos se mantienen en proyecciones.

-Solución

Soluciones a estos cuatro ejercicios.

Otro ejercicio aparecido en las pruebas EvAU del año 2017 requiere conocer los conceptos de abatimiento (de un plano) y perpendicularidad. Se trata de éste

-Solución

Junio 2004

-Solución por Felisardo Da Bilbi